恒定乘积 AMM 的价格冲击推导（示例）

这是一篇示例文章，用来检查排版：公式、代码、表格、引用都放了一遍。内容本身是 Uniswap v2 一类恒定乘积做市商的基础推导，可以当作真正的第一篇长文的起点，也可以直接删掉。

恒定乘积模型

池子里有两种代币，储备量分别是 $x$ 和 $y$。每次交易后，两者的乘积保持不变：

$$x \cdot y = k$$

用户向池子存入 $\Delta x$ 个 X 代币，池子按公式给出 $\Delta y$ 个 Y 代币，要求交易后乘积仍为 $k$：

$$(x + \Delta x)(y - \Delta y) = xy$$

解出 $\Delta y$：

$$\Delta y = \frac{y \,\Delta x}{x + \Delta x}$$

加入手续费

设手续费率为 $f$（Uniswap v2 是 $0.3\%$），只有扣费之后的部分 $\Delta x' = (1-f)\Delta x$ 参与定价：

$$\Delta y = \frac{y \,(1-f)\Delta x}{x + (1-f)\Delta x}$$

手续费留在池子里，所以交易后的乘积 $k$ 会略微变大，这部分增长就是流动性提供者的收益来源。

价格冲击

交易前的边际价格是 $p_0 = y/x$。这笔交易的平均成交价是 $\Delta y / \Delta x'$，两者的差距就是价格冲击：

$$\text{impact} = 1 - \frac{\Delta y/\Delta x'}{p_0} = \frac{\Delta x'}{x + \Delta x'}$$

冲击只取决于这笔交易占池子储备的比例。交易量相对池子越大，滑点越大。

数值例子

取 $x = y = 1000$，$f = 0.3\%$：

输入 $\Delta x$	输出 $\Delta y$	价格冲击
1	0.9960	0.100%
10	9.8716	0.987%
100	90.6611	9.066%
500	332.6660	33.267%

图：输入 0 到 500 对应的价格冲击，标出的点是上表的四组数值。

代码

下面是同样的计算，可以直接运行：

def swap(x: float, y: float, dx: float, fee: float = 0.003):
    """返回 (输出数量, 价格冲击)。"""
    dx_eff = dx * (1 - fee)
    dy = y * dx_eff / (x + dx_eff)
    impact = dx_eff / (x + dx_eff)
    return dy, impact


dy, impact = swap(1000, 1000, 100)
print(f"out={dy:.4f}, impact={impact:.3%}")
# out=90.6611, impact=9.066%

下一步

这个模型里价格只在池子内部由交易推动，所以和外部市场出现价差时，套利者会把它拉回去。这个过程和 MEV、交易排序直接相关，可以作为下一篇的主题。